Разделы сайта
Выбор редакции:
- Вертикальный конгломерат
- Фотограф Всеволод Тарасевич: сумасшедшая жизнь от «Формирования интеллекта» и до «Края земли
- Требуется продавец-консультант?
- «Полная неожиданность»: в России рухнули продажи электроники
- На слонимщине перерисовали соломенные фигуры, так как они уж очень напоминали известных людей беларуси
- Трудовая мотивация и удовлетворенность трудом Похожие работы на - Профессиональное удовлетворение работой разными поколениями сотрудн
- Как получить грант на начало бизнеса, руководство от первого лица
- Разделение рабочего времени на части
- Презентация на английском языке И
- Как формировать профили должностей для поиска ценных сотрудников?
Реклама
Бесконечно малые функции их сравнение. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций |
Как было показано, сумма, разность и произведение бесконечно малых функции являются бесконечно малыми, чего нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую может дать разные результаты. Например, если а(х) = 2х, р(х) = Зх, то Если же а(х) = х 2 , Р (л;) = х 3 , то Целесообразно ввести правила сравнения бесконечно малых функций с использованием соответствующей терминологии. Пусть при х -» а функции а(х) и p(.v) бесконечно малые. Тогда различают следующие варианты их сравнения, в зависимости от величины с предела в точке а их отношения:
Часто бывает недостаточно знания, что одна бесконечно малая по отношению к другой является бесконечно малой более высокого порядка малости, нужно еще оценить величину этого порядка. Поэтому используется следующее правило. 4. Если Mm - - =d*0, то а(х) - бесконечно малая л-го порядка отно- *->лр"(*) ситсльно Р (х). В этом случае используют символ о «о малое»): а(х) = о(Р(х)). Заметим, что верны аналогичные правила сравнения бесконечно малых функций при х -»оо, х -» -оо, х -> +«>, а также в случае односторонних пределов при х -» а слева и справа. Из правил сравнения вытекает одно важное свойство: то существует и предел lim 1 , причем оба этих предела равны. В ряде случаев доказанное утверждение упрощает вычисление пределов и проведение оценок. Рассмотрим несколько примеров. 1. Функции sin х и х при х -» 0 являются эквивалентными бесконечно малыми в силу предела (8.11), т.с. при х -> 0 sin х ~ х. Действительно, мы имеем:
Пример 7. Найти lim *-+° х + х" Решение. Так как sin кх ~ кх и х + х 2 ~ х: Сравнение бесконечно больших функцийДля бесконечно больших функций также имеют место аналогичные правила сравнения, с той лишь разницей, что для них вместо термина «порядок малости» употребляется термин «порядок роста». Поясним сказанное на примерах. 1. Функции f(x) = (2 + х)/х и g(x) = 2/х при х -» 0 являются эквивалентными бесконечно большими, поскольку Данные функции /(х) и #(*) имеют одинаковый порядок роста. 2. Сравним порядки роста функций f(x) = 2х? + I и g(x) = х 3 + х при х -> для чего найдем предел их отношения: Отсюда следует, что функция g (х) имеет более высокий порядок роста, нежели функция / (х). 3. Бесконечно большие при х -» °о функции/(х) = Зх 3 + х и #(х) = х 3 - 4х 2 имеют одинаковый порядок роста, так как 4. Функция /(х) = х 3 + 2х + 3 является при х -» бесконечно большой третьего порядка по отношению к бесконечно большой функции g (х) = х - I, поскольку Контрольная работа Дисциплина: Высшая математика Тема: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин 1. Предел числовой последовательности 2. Предел функции 3. Второй замечательный предел 4. Сравнение бесконечно малых величин Литература 1. Предел числовой последовательности Решение многих математических и прикладных задач приводит к последовательности чисел, заданных определенным образом. Выясним некоторые их свойства. Определение 1.1. Если каждому натуральному числу по какому-то закону поставлено в соответствие вещественное число , то множество чисел называется числовой последовательностью.Исходя из определения 1, видно, что числовая последовательность всегда содержит бесконечное число элементов. Изучение различных числовых последовательностей показывает, что с ростом номера их члены ведут себя по-разному. Они могут неограниченно увеличиваться или уменьшаться, могут постоянно приближаться к какому-то числу или вообще не проявлять какой-либо закономерности. Определение 1.2. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого числа существует такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для всех номеров числовой последовательности выполняется условие .Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся. В этом случае пишут .Очевидно, для выяснения вопроса о сходимости числовой последовательности необходимо иметь критерий, который был бы основан только на свойствах ее элементов. Теорема 1.1. (теорема Коши о сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы числовая последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для любых двух номеров числовой последовательности и , которые удовлетворяют условию и , было бы справедливо неравенство .Доказательство. Необходимость. Дано, что числовая последовательность сходится, значит, в соответствии с определением 2, у нее существует предел . Выберем какое-то число . Тогда, по определению предела числовой последовательности, существует такой ее номер , что для всех номеров выполняется неравенство . Но так как произвольно, то будет выполняться и . Возьмем два каких-то номера последовательности и , тогда .Отсюда следует, что , то есть необходимость доказана.Достаточность. Дано, что . Значит, существует такой номер , что для данного условия и . В частности, если , а , то или при условии, что . Это значит, что числовая последовательность для ограничена. Следовательно, по крайней мере, одна из ее подпоследовательностей должна сходиться. Пусть . Докажем, что сходится к также.Возьмем произвольное . Тогда, согласно определению предела, существует такой номер , что для всех выполняется неравенство . С другой стороны, по условию дано, что у последовательности существует такой номер , что для всех и будет выполняться условие . и зафиксируем некоторое . Тогда для всех получим: .Отсюда следует, что Пусть a (x ) и b (x ) – б.м. функции при x ® a (x ® + ¥, x ® –¥, x ® x 0 , …). Рассмотрим предел их отношения при x ® a . 1. Если = b и b – конечное число, b ¹ 0, то функции a (x ), b (x ) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x ® a . 2. Если = 0, то a (x ) называют бесконечно малой высшего порядка , чем b (x ) при x ® a . Очевидно, в этом случае = ¥. 3. Если a (x ) – б.м. высшего порядка, чем b (x ), и = b ¹ 0 (b – конечное число, k Î N ), то a (x ) называют бесконечно малой k -го порядка, по сравнению с b (x ) при x ® a . 4. Если не существует (ни конечный, ни бесконечный), то a (x ), b (x ) называют несравнимыми б.м. при x ® a . 5. Если = 1, то a (x ), b (x ) называются эквивалентными б.м. при x ® a , что обозначается так: a (x ) ~ b (x ) при x ® a . Пример 1 . a (x ) = (1 – x ) 3 , b (x ) = 1 – x 3 . Очевидно, что при x ® 1 функции a (x ), b (x ) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x ® 1: Вывод: a (x b (x ) при x ® 1. Нетрудно убедиться, что = (убедитесь!), откуда следует, что a (x ) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с b (x ) при x ® 1. Пример 2 . Функции a 1 (x ) = 4x , a 2 (x ) = x 2 , a 3 (x ) = sinx , a 4 (x ) = tgx являются бесконечно малыми при x ® 0. Сравним их: 0, , = 1, = ¥. Отсюда заключаем, что a 2 (x ) = x 2 – б.м. высшего порядка, по сравнению с a 1 (x ) и a 3 (x ) (при x ® 0), a 1 (x ) и a 3 (x ) – б.м. одного порядка, a 3 (x ) и a 4 (x ) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x ® 0. Теорема 1 . Пусть a (x ) ~ a 1 (x ), b (x ) ~ b 1 (x ) при x ® a . Если существует , то существует и , и = . Доказательство. = 1, = 1, = = . Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов. Пример 3
. Найти . В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x , tg3x ~ 3x при x ® 0, поэтому Теорема 2 . Бесконечно малые функции a (x ) и b (x ) эквивалентны (при x ® a ) тогда и только тогда, когда a (x ) – b (x ) является б.м. высшего порядка, по сравнению с a (x ) и b (x ) (при x ® a ). Доказательство Пусть a (x ) ~ b (x ) при x ® a . Тогда = = 0, т.е. разность a (x ) – b (x a (x ) при при x ® a (аналогично с b (x )). Пусть a (x ) – b (x ) – б.м. высшего порядка, по сравнению с a (x ) и b (x ), покажем, что a (x ) ~ b (x ) при x ® a : = = + = 1, |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Фотограф Всеволод Тарасевич: сумасшедшая жизнь от «Формирования интеллекта» и до «Края земли
- Требуется продавец-консультант?
- «Полная неожиданность»: в России рухнули продажи электроники
- На слонимщине перерисовали соломенные фигуры, так как они уж очень напоминали известных людей беларуси
- Трудовая мотивация и удовлетворенность трудом Похожие работы на - Профессиональное удовлетворение работой разными поколениями сотрудн
- Как получить грант на начало бизнеса, руководство от первого лица
- Разделение рабочего времени на части
- Презентация на английском языке И
- Как формировать профили должностей для поиска ценных сотрудников?
- Рабочее время в нестандартных ситуациях По пятницу с 9 00