В жизни люди, способные вычислять в уме, смотрятся как «суперумники», хотя в этом ничего сложного нет. Калькулятор калькулятором, а считать в уме полезно!
Как помочь ребенку выучить таблицу умножения
Ниже описаны некоторые простые приемы

Умножение на 2 или удваивание. Удваивать довольно легко, достаточно что-то сложить с самим собой. Вначале я показал на своей левой и правой руке одновременно по одному, двум, трем, четырем, пяти пальцам – так мы получили 2, 4, 6, 8, 10. Вместе с пальцами моего ученика мы дошли до двадцати, а потом я показывал на разные штуки в комнате, и предлагал сосчитать и удвоить – число букв в плакате, число символов на циферблате часов, сосчитать число спиц на одной стороне колеса велосипеда, и проверить, сойдется ли общее число с удвоенным и так далее.

Умножение на 4 и 8, 3 и 6

Когда умеешь умножать на два, это сущие пустяки. Умножить на четыре это то же, что удвоить ответ для того, что уже удвоено, например 7×4 это 7×2х2, а что 7×2 это 14 мы уже хорошо запомнили на предыдущем уроке про удваивания, так что и само 14 превратить в 28 не составит труда. Когда разобрался с четверкой, не так уж сложно разобраться и с большими числами восьмерки. По пути мы заметили, что, например, 16 это и 2×8, и 4×4. Так мы узнали, что есть числа, сплошь состоящие из двоек: 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Умножая на 3 и 6, мы выучили старый пиратский метод «дележки на три». Если сложить цифры в числе, умноженном на 3, 6 или любом другом, которое делится на тройку, то результат сложения цифр ответа всегда кратен трем. Например, 3×5 = 15, 1+5 = 6. Или 6×8 = 48, а 4+8 = 12, кратно трем. А можно и в 12 цифры сложить, получится тоже 3, так что, если так дойти до конца, то всегда получается одно из трех чисел: 3, 6 или 9.

Так мы превратили это в еще одну игру. Я задавал какое-нибудь число, даже трех- или четырехзначное, и спрашивал, делится ли оно на 3. Для ответа достаточно сложить цифры, что довольно просто. Если число делилось на 3, то я спрашивал - «а на 6?» – и тогда нужно было просто посмотреть четное ли оно. А потом (в специальном случае небольших чисел из таблицы) иногда еще хотел узнать, что же получится при таком делении на 3 или 6. Это было очень веселое занятие.

Умножение на 5 и 7, простые числа
И вот остались у нас умножение на пятерку, семерку, и девятку. А это значит, что мы выучили умножение их на многие другие числа - на 1, 2, 3, 4, 6, 8 и 10. С пятеркой мы разобрались очень быстро – она легко запоминается: на конце либо нолик, либо пять, точно также как умножаемое число: либо четно, либо нечетно. В качестве предмета, на котором с пятерками удобно заниматься, отлично подходит циферблат часов, можно придумать множество задач про путешествия во времени и пространстве. Заодно я рассказал почему в часе шестьдесят минут, и мы поняли чем это удобно.

Мы увидели, что 60 удобно делить на 1, 2, 3, 4, 5, 6, а на 7 делить неудобно. Поэтому было самое время присмотреться к этому числу. Из умножения на семерку оставалось запомнить лишь 7×7 и 7×9. Теперь мы знали почти все, что нужно. Я объяснил, что семь просто очень гордое число – такие числа называются простые, они делятся только на 1 и на себя.

Математика может быть веселой и легкой. Познакомтесь с этой симпатичной таблицей.
Если вдумчиво ее исследовать, то не так уж много надо выучить. Всего 36 позиций. Остальные либо простые (1 х 10) либо обратимые (2 х 4 = 4 х 2). Минус 10 позиций из таблицы умножения на 9. Ее можно выучить за 5 минут. Есть такой фокус:

Итак, поехали.

Для начала положим свои руки на стол и мысленно пронумеруем пальчики слева направо от 1 до 10. Чтобы выполнить действие умножения, допустим 9 х 3 = ? , загибаем третий слева пальчик. Всё! Ответ готов: оставшиеся не загнутыми пальчики слева образуют количество десятков в ответе, а не загнутые справа - количество единиц. Считаем, и говорим ответ: 27!

Таким образом можно получить ответ для любого числа. Вот здесь, допустим, пример 9 х 7 = 63

посмотрите умножение на 9 на видео:

Создание числовой последовательности

Пальцы рук и ног дали человеку первую числовую последовательность, которая полностью отделилась от считаемых объектов. Будучи разделены на дифференцируемые группы природой, числа сформировали следующие разряды: 5 - пальцев на одной руке, 10 - пальцы на двух руках, 20 - все пальцы рук и ног. Это нашло своё отражение в названиях чисел в языках некоторых народов: пять - «одна рука» ; десять - «две руки»; двадцать - «один человек». По исчерпании чисел, могущих быть выраженными пальцами рук и ног одного человека (20), наступает вторая серия подсчёта, идущая точно таким же образом, добавляя к «одному человеку» такое же число пальцев «второго человека» (20+20=40), и т. д.

Включение пальцев рук и ног определило создание двадцатичной системы счисления у цивилизации майя в Новом Свете (при этом существовала структура в виде четырёх блоков по пять цифр, что соответствовало пяти пальцам руки и ноги), а ограничение исчисления пальцами рук привело к формированию десятичной системы счисления , возобладавшей у народов Евразии. Пятеричная система, взявшая за основу пальцы одной руки, распространилась в тропической Африке. Двадцатеричная система счисления в Старом Свете была традиционной у чукчей , до настоящего времени используется в названии чисел в нахских языках , а в качестве языкового пережитка оставила след во французском слове «quatre-vingts» («восемьдесят»: буквально - «четырежды двадцать») .

Самое раннее упоминание о десятичной системе пальцевого счёта в литературе содержится у Публия Овидия Назона в книге «Фасты», где автор поэтически отобразил представление древних римлян о числе пальцев рук, которые были увязаны с десятью лунными месяцами женской беременности .

Другой весьма распространённый в древности вариант - счёт четвёрками пальцев, при этом счёте большой палец не засчитывался. Так, в древнерусском языке все пальцы, кроме большого, назывались словом «пьрстъ», а большой - «пальць», в английском языке до настоящего времени четыре «счётных» пальца именуются словом «fingers», а большой палец - «thumb». В этом исчислении пальцы двух рук составляют основу древней восьмеричной системы счисления (отличается от современной) .

Кроме того на четырёх пальцах одной руки 12 фаланг , если их считать пятым, большим пальцем, то есть прикосновение кончика большого пальца к каждой фаланге принимать за единицу . Эта особенность повлияла на появление двенадцатиричной и шестидесятиричной систем счисления (во втором случае, большой палец несколько раз подряд касался всех фаланг и счёт продолжался дальше, но после каждого нового цикла касаний загибался один палец на второй руке).

Счёт на пальцах у разных народов

Римский счёт

Распространённый в средневековой Европе и на Ближнем Востоке пальцевый счёт (из книги «Сумма арифметики» итальянского математика Луки Пачоли , 1494 г.) Отличается от пальцевого счёта Беды Достопочтенного (725 г.) тем, что сотни и тысячи здесь показаны на правой руке, как в древнеримском счёте

Крупные числа, показанные пальцевым счётом Беды (из книги «Арифметическо-геометрический театр» Якоба Леопольда, 1727 г.)

В состав Римской республики, а позднее - империи, входило множество народов, а сфера торговли охватывала всё Средиземноморье и страны Ближнего Востока, имеющие разную счётную письменность или не имеющие таковой. Как результат, возникла весьма развитая, и главное, работающая, система счёта на пальцах, при которой торговцы могли оперировать числами до 10.000 с помощью одних только пальцев двух рук, и до 1.000.000.000, задействуя другие части тела.

Арабско-восточноафриканский счёт

В течение длительного времени на территории Арабского халифата и стран, возникших после его распада, в торговых операциях использовался римский пальцевый счёт, ещё в XIV веке арабские и персидские документы свидетельствуют о хорошем знании арабами римской системы счёта, сходной с той, которая была записана Бедой Достопочтенным в Европе начала VIII века. Особенностью этого счисления стала смена рук, означающих десятки и сотни, в соответствии с системой арабского письма справа-налево. Таким образом, правая рука стала означать сотни, а левая - единицы и десятки. Впоследствии, на восточных базарах и в портах Красного моря и восточного побережья Африки , торговцы выработали собственный оригинальный математический язык жестов. Покупатель и продавец, во избежании нечистоплотных посредников, конкурентов и нежелательных свидетелей, тайно договариваются о цене, накрыв свои руки тканью и касаясь ладоней друг друга по определённым правилам.

Прикосновение к вытянутому указательному пальцу продавца, в зависимости от цены и используемых денежных единиц, будет означать 1, 10 или 100. Одновременное прикосновение к двум, трём или чётырём пальцам продавца будет означать соответственно 2 (20, 200), 3 (30, 300) или 4 (40, 400). Касание открытой ладонью указывает на число 5, 50 или 500. Дотронуться до мизинца означает 6, 60 или 600, безымянный палец - 7, 70 или 700, средний палец - 8, 80 или 800, согнуть указательный палец - 9, 90 или 900, коснуться Большого пальца - 10, 100 или 1000. При этом счислении может соблюдаться последовательность числовых степеней, например число 78 задаётся касанием безымянного пальца продавца, а затем - его среднего пальца. Постукивание по указательному пальцу продавца в направлении от среднего сустава к кончику пальца - предложение о снижении цены вдвое (1/2), на четверть (1/4) или на восьмую часть (1/8) от первоначальной. Постукивание по указательному пальцу от основания пальца до его среднего сустава - будет являться надбавкой половины (1/2) от предложенной цены, или 1/4, или 1/8. Если перед указанием дробной степени указывается целое число, то оно умножается на дробную степень.

Китайский счёт

Китайская позиционная десятичная система счёта с примером (выделено красным)

Китайский метод счёта основан на количестве и символике пальцев. Используя этот метод, на двух руках можно посчитать до 20. Стоит заметить, что в некоторых провинциях жесты могут отличаться.

0 - сложенный кулак; 1 - разжатый указательный палец; 2 - разжаты и растопырены указательный и средний пальцы; 3 - разжаты и растопырены указательный, средний и безымянный пальцы; 4 - кроме прижатого к ладони большого пальца, остальные разжаты; 5 - открытая ладонь; 6 - выпрямлены мизинец и большой палец, остальные - сжаты в кулак; 7 - большим палец вместе с указательным и средним сложены в щепоть; 8 - выпрямлены указательный и большой пальцы, остальные - сжаты в кулак; 9 - указательный и большой изогнуты в виде буквы «С», остальные - сжаты в кулак; 10 - три варианта. Первый: рука сжимается в кулак; второй: указательные пальцы обеих рук пересекаются; третий: выпрямленный средний палец заводится за выпрямленный указательный, остальные - сжаты в кулак.

Японский счёт

Английский счёт

В англоязычных странах счёт до 5 ведётся разжатием пальцев, первоначально собранных в кулак, начиная с указательного пальца, и продолжается до мизинца (число 4). Разжатый большой палец указывает на число 5. Аналогичным образом процесс счёта продолжается на другой руке для чисел от 6 до 10. Например, число 7 указывается открытой ладонью с растопыренными пальцами одной руки и разжатыми указательным и средним пальцами другой. Чтобы указать на количество своему собеседнику, коренной житель англоговорящей страны поднимает руку или руки вверх. Например, разжатые указательный, средний и безымянный пальцы на поднятой вверх ладони будут означать число 3 .

Балканские страны на юго-востоке Европы имеют счёт, схожий с английским.

Континентальный европейский счёт

В некоторых европейских странах, а зачастую и во Франции , альтернативный метод подсчёта проводится путём сгибания пальцев в порядке: большой, указательный, средний, безымянный и мизинец.

Русский счёт

«Счёт дюжинами»

«Счёт сороками»

Русский счёт на пальцах до десяти начинается с загибания мизинца левой руки и последовательно ведётся до загнутого большого пальца правой руки. Но когда требуется наглядно показать количество, рука сжимается в кулак и сначала разжимается указательный палец, затем средний, безымянный, мизинец и большой .

Этот счёт также имеет место в странах бывшего СССР .

Из других способов счисления по пальцам был распространён «счёт дюжинами» (двенадцатеричная система), употреблявшийся в торговле (особенно в Новгородской республике XII-XV веков). Счет дюжинами вёлся большим пальцем по фалангам остальных четырёх пальцев правой руки и начинался от нижней фаланги указательного пальца , а заканчивался верхней фалангой мизинца . Другой вариант - от верхней фаланги мизинца левой руки до нижней фаланги указательного пальца. Если число превышало 12, то при достижении 12 считающий загибал один палец на противоположной руке. По достижении числа 60 (пятёрки дюжин) все пальцы руки, фиксировавшей полные дюжины, оказывались сжатыми в кулак. Дюжинами до начала XX века в России было принято считать носовые платки, пишущие перья, карандаши, школьные тетрадки, набор из 12 предметов по традиции составляли ложки, вилки, ножи, а посудные сервизы и комплекты стульев и кресел раcсчитывались на 12 персон (что оставило след в названии романа «Двенадцать стульев ») .

Но наибольшее распространение в Древней Руси получил «счёт сороками» («сороковицами»). Охотники за пушным зверем в Сибири вели счет «сорочками», то есть укомплектованными в мешки шкурками (как правило, 40 собольих хвостов или 40 беличьих шкурок), которые полностью уходили на пошив богатой шубы («сорочки») русского боярина XVI века. Так, в таможенной грамоте 1586 года «сороками» были посчитаны шкурки соболей и куниц, посланные в качестве платы за ведение войны с турками от царя Фёдора Ивановича австрийскому императору Рудольфу. Методика счёта была схожа со «счётом дюжинами», только вместо подсчёта фаланг считали суставы пальцев (переходы между фалангами), которых было всего 8. Если число превышало 8, то при достижении 8 считающий загибал один палец на противоположной руке. По достижении числа 40 все пальцы руки, фиксировавшей полные осьмушки, оказывались сжатыми в кулак. Следы пальцевого «счёта сороками» сохранились в народных суевериях. Например, несчастливым для охотника считался сорок первый медведь и т. д. Также словом «сороконожка » традиционно называлась любая многоножка. Выражение «сорок сороков» или «тьма» для древнерусского крестьянина символизировало некое число, превосходящее всякое воображение и собственно математические познания самого земледельца .

Пальцевый счёт в качестве культурной идентификации

Культурные различия в подсчете на пальцах у разных народов иногда используются как тайный пароль, в частности, для различия национальностей во время войны. Эта возможность культурной идентификации является частью сюжета в фильме «Бесславные ублюдки » Квентина Тарантино и в романе «Пи в небе» («Pi in the Sky: Counting, Thinking, and Being»), Джона Барроу .

Английский писатель Р. Мейсон в книге «А ветер не мог читать» приводит житейский пример из истории Второй мировой войны об японке Сабби, волей судьбы оказавшейся в Индии , принадлежащей тогда Великобритании , которая находилась с Японией в состоянии войны. Когда Сабби представили одному англичанину как китаянку, тот предложил ей сосчитать на пальцах до пяти, после чего обман раскрылся: «Вы видели как она считает? Загибает один за другим пальцы. Вы когда-нибудь видели, чтобы китаец при счёте загибал пальцы? Никогда! Китайцы считают так же, как и англичане. Они поднимают кулак и разгибают пальцы! Она японка!»

Пальцевый счёт в спорте

В некоторых видах спорта, например в велосипедной гонке «Тур де Франс », перед стартом используется обратный отсчёт от 5 до 1 на пальцах поднятой руки судьи. Числа в этой системе, отображаются следующим образом:

5 разжаты все пальцы, включая большой 4 кроме большого все пальцы разжаты 3 разжаты большой, указательный и средний палец 2 разжаты указательный и средний палец 1 разжат большой или указательный палец 0 все пальцы вытянуты снова, но рука отводится в сторону. Это сигнал о начале гонки.

Телесный счёт

Одной из самых примитивных систем счёта, является телесный счёт - разновидность пальцевого счёта, задействующая и другие части человеческого тела в определённом порядке. Как правило, первобытные племена, использующие эту разновидность счисления, не имеют в языке достаточного количества слов для обозначения цифр, поэтому те же самые слова могут означать разные цифры и не могут быть верно поняты без содействия жестового языка. Также отсутствует настоящая числовая последовательность, как это имеет место в пятеричной, восьмеричной, десятичной, двенадцатеричной или двадцатичной системах счисления. Так, пальцевая арифметика народности панцах исчерпывается следующими цифрами :

1 (ануси) - выпрямленный мизинец правой руки; 2 (доро) - выпрямленный безымянный палец правой руки; 3 (доро) - выпрямленный средний палец правой руки; 4 (доро) - выпрямленный указательный палец правой руки; 5 (убеи) - выпрямленный большой палец правой руки; 6 (тама) - указывание на правое запястье; 7 (унубо) - указывание на правый локоть; 8 (виса) - указывание на правое плечо; 9 (деноро) - указывание на правое ухо; 10 (дити) - указывание на правый глаз; 11 (дити) - указывание на левый глаз; 12 (медо) - указывание на нос; 13 (бее) - указывание на рот; 14 (деноро) - указывание на левое ухо; 15 (виса) - указывание на левое плечо; 16 (унубо) - указывание на левый локоть; 17 (тама) - указывание на левое запястье; 18 (убеи) - выпрямленный большой палец левой руки; 19 (доро) - выпрямленный указательный палец левой руки; 20 (доро) - выпрямленный средний палец левой руки; 21 (доро) - выпрямленный безымянный палец левой руки; 22 (ануси) - выпрямленный мизинец левой руки.

Примечания

1. Карл Меннингер «История цифр. Числа, символы, слова», - М: ЗАО Центрполиграф, 2011, С. 49-53, 257-278. ISBN 978-5-9524-4978-7
2. Б. Казаченко «Тридевятое царство, тридесятое государство, или как считали наши предки» // Журнал «Наука и жизнь», № 10, 2007 год.
3. Например: «пядь » - старинная единица измерения, равная ладони (17,78 см), также старорусское слово «пясть» означает ладонь, кисть руки (Владимир Даль «Словарь живого великорусского языка»)
4. В. П. Алексеев, А. И. Першиц «История первобытного общества: учебник для студентов вузов по специальности „История“», - М.: АСТ, 2007, С. 299. ISBN 5-17-022316-1
5. (яп.) Nishikawa, Yoshiaki (2002), «ヒマラヤの満月と十二進法 (The Full Moon in the Himalayas and the Duodecimal System)» , . Проверено 24 марта 2008.
6. (англ.) Ifrah, Georges (2000), «The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer.» , John Wiley and Sons, ISBN 0-471-39340-1
7. (англ.) Macey Samuel L. The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure . - Atlanta, Georgia: University of Georgia Press, 1989. - P. 92. - ISBN 978-0-8203-3796-8
8. Китайский счет до десяти пальцами одной руки (видео на youtube).
9. (яп.) Namiko Abe Counting on one"s fingers (яп.) . About.com. Архивировано из первоисточника 2 октября 2012.
10. (англ.) Pika,Simone; Nicoladis, Elena; and Marentette, Paula (January 2009). «How to Order a Beer: Cultural Differences in the Use of Conventional Gestures for Numbers ». Journal of Cross-Cultural Psychology 40 (1): 70-80.

Практически все представители науки согласны с тем, что первичной системой счета был счет на пальцах. А вот как этот счет осуществлялся, мнения у исследователей расходятся.

Пальцы рук и ног дали человеку первую числовую последовательность, которой человек пользуется до сих пор, показывая на пальцах нужное число от 1 до 5, реже до 10. В средствах массовой информации указана масса вариантов ручного счета, которому даны названия двоичной, пятеричной, двенадцатиричной, двадцатиричной и прочих систем счисления. При этом считают, что математические вычисления, осуществляемые человеком, производились с помощью сгибания, разгибания или указывания пальцев рук, а иногда и ног.

Предлагаются варианты счета четырьмя пальцами без участия большого, говоря, что это древняя восьмеричная система (?). Где-то надо прикасаться кончиком большого пальца к пальцевым фалангам для обозначения счета. Показано множество способов сложения пальцев рук в сложные конфигурации, наподобие йоговских «мудр», где сложение пальцев руки в такую фигуру, как «фига», наверное, изображает – ничего. Есть система счета со сжатием пальцев в кулак и множество подобных. В СМИ есть упоминание о ручном, пиктографическом счете со скрещиванием рук для показа десятков.

И говорится также, что самое раннее упоминание о десятичной системе пальцевого счёта в литературе содержится у Публия Овидия Назона в книге «Фасты», в которой автор отобразил представление древних римлян о числе пальцев рук, которые были увязаны с десятью лунными месяцами женской беременности.

Создается впечатление, что для того чтобы передать какие-либо числа, человек должен был не только проделать разные манипуляции пальцами, тряся кистями рук, сжимая и разжимая кулаки. Но еще он должен был и сплясать в придачу, для демонстрации пальцев ног, с каким-нибудь вывертом, потому что, оказывается, был еще и телесный счет. И наверное, то же самое должен был проделать собеседник, в ответ. Хотя чтобы обозначить число, достаточно было его просто назвать, без всякой жестикуляции.

Ученые указывают на феномен античной науки, считая, что именно тогда сформировался образец теоретического мышления, представленный древними философами в логике и диалектике. Вот тогда человек и научился образному представлению материи, объединяющей в единое целое множество отдельных элементов, представляя их как набор из чисел в виде знаков и символов. Которые трансформировались затем в такие позиционные числовые системы, как арабская и римская.

Первые символы, которые ученые связали с пятеричной числовой системой, были обнаружены на культовых предметах связанных с погребальными обрядами. Эти символы, обнаруженные на бронзовых «серпах» раннего периода центральноевропейской культуры полей погребальных урн, интерпретируются около 1200–1500 годов до н. э. как примитивные цифры. По обнаруженным на серпах знакам ////\\\\\ было выдвинуто предположение, что это пятеричная система счета, связанная с лунным циклом.

Косую черту с наклоном влево посчитали за 1 (единицу), а черту с наклоном вправо – за 5 (пятерку), или наоборот, при этом максимальное число получается 29 – как количество дней в лунном календаре. Обнаруженные на изделиях культуры подобные символы, частично интерпретированы как числительные (цифры) и пока не расшифрованы до конца. Так это или нет, но тут можно вспомнить и про Овидия и его «Фасты», с упоминанием о беременностях, которые обычно рассчитываются по лунному календарю.

Я считаю, что указанная композиция ////\\\\\ имеет отношение не только к вычислениям лунного календаря (если это так), но и к построению первой примитивной системы счета, а потом и к созданию римского цифрового ряда – I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, X, который вывели древние греки, применив свою методику дешифровки древней символики.

Как и все гениальное, первая примитивная система счета была создана исключительно простейшим способом, когда любознательный человек вставал на четвереньки, оставляя на песке сдвоенные следы ног и рук с соединенными большими пальцами. Отпечаток сдвоенных ладоней с отставленными большими пальцами ||||/\|||| и будет представлять первичную примитивную систему счета и первичное изображение римской счетной системы.

Адепты первичного счета, стремившиеся к самопознанию, могли экспериментировать с оставленными на песке следами своих собственных рук. И если соединить пальцы рук вместе, получится такая линия знаков – /////\\\\\, которую обнаружили на бронзовых ритуальных серпах прото-кельтов. Здесь любители современной фантазии могли бы высказать предположение о том, что эти присутствующие в захоронениях символы являются идентификаторами «упокоенного» в урне праха, так как отпечатки пальцев всегда индивидуальны.

А если мы большие пальцы рук в этом построении соединим в прямую линию, получается такая знаковая система: ////_\\\\ – изображающая треугольник. А можно изобразить ромб, ведь совершенству нет предела!

Слайд 2

Часто говорят: «Знаю, как свои пять пальцев». Не с того ли далёкого времени пошло это выражение, когда знать, что пальцев пять, значило то же, что уметь считать?

Слайд 3

Начало счета Первобытные люди не знали счета. Сначала они на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Научившись выделять один предмет из множества, говорили «ОДИН», если предмет был не один, то говорили «МНОГО». М Н О Г О О Д И Н

Слайд 4

Постепенно люди стали приручать скот, возделывать поля и собирать урожай; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись. Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если и на двух руках не хватало, переходили на ноги. О численности группы пяти вещей человек говорил «столько же сколько пальцев на руке», о группе из 20 вещей – «столько же, сколько пальцев у человека». Появление счета на пальцах

Слайд 5

Пальцы были первыми ИЗОБРАЖЕНИЯМИ ЧИСЕЛ и первой «СЧЕТНОЙ МАШИНКОЙ" =

Слайд 6

5 - 1 = 4 2 + 1 = 3 Очень удобно с помощью пальцев складывать и вычитать.

Слайд 7

«Человек» – это 20 «Два человека» – это 2 раза по 20 (40) «Рука» – это 5 «На другой руке два» – это 7 «На первой ноге три» – это 13 Первые названия чисел «Две руки» – это 10

Слайд 8

Отпечатки рук в пещереГаргас В доисторических пещерах археологи находили отпечатки рук. В пещере Гаргас во Франции, на стенах ее, запечатлена целая коллекция отпечатков, где зачастую не хватает одного, двух, трех, четырех пальцев. Это древнейшие ИЗОБРАЖЕНИЯ ЧИСЕЛ. Первые упоминания о пальцевом счете

Слайд 9

Древний Египет Бог Осирис – судья в Царстве мертвых Древние Египтяне полагали, что в загробном мире душу умершего подвергают экзамену по счету на пальцах. Древнеегипетский пальцевый счет «Величественный бог на другой стороне скажет: не привел ли ты мне человека, который не может сосчитать свои пальцы?» (из заклинания для получения перевоза души в загробный мир)

Слайд 10

Древнейший пример записи счета был найден в 1937г. около деревни Вестоница (Моравия). Это - кость молодого волка с записью добычи доисторических охотников. Кость относится к ХХХ веку до н.э. На кости нанесено 55 глубоких зарубок. Чтобы записать результаты своих вычислений, человек делал зарубки на костях, палках. Зарубки и засечки часто группировались по 5 по числу пальцев на руках. Первые записи вычислений Зарубки на костях

Слайд 11

Б и р к и Бурятские бирки Зарубками на палках пользовались для счёта ещё совсем недавно: каких-нибудь двести лет назад. На них «записывали» подати, налоги и долги. Такие палочки назывались БИРКАМИ. Простая палочка с зарубками не только помогала считать, но и служила документом - квитанцией или распиской.

Слайд 12

Развитие пальцевого счета Со временем пальцевый счет совершенствовался и развивался. С помощью пальцев можно было показать числа до 10 000. Люди научились складывать большие числа, даже умножать на пальцах. Пальцами пользовались и для поддержания вычислений в уме. Пальцевый счет (из «Арифметики» Л. Пачоли) Полное описание пальцевого счета составил ирландский монах Беда Достопочтенный (VII-VIII в.) в своей книге.

Слайд 13

Известно, что китайские купцы торговались, взяв друг друга за руки и указывая цену нажатием на определенные суставы пальцев. Фраза «по рукам» как раз и выражает согласие с предложенной ценой и окончанием торга. С РАЗВИТИЕМ ТОРГОВЛИ СЧЕТ НА ПАЛЬЦАХ ПРИОБРЕЛ ОСОБОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Ведь торговали представители разных народов, которые не имели общего языка. Выработался общий пальцевый счет, понятный без слов, и этому счету обучали детей в школе.

Слайд 14

От счета по пальцам произошли многие способы счета, например пятерками, «пяткáми» (одна рука), десятками (две руки), двадцатками (пальцы рук и ног), дюжинами, «сорокáми».

Счет «ПЯТКÁМИ» Племена, которые пользовались при счете пальцами только одной руки, считали пятерками (пяткáми). Отголоски такого счета сохранились и в наши дни: У нас в быту до сих пор используется счет мелких предметов “пяткáми”: пуговиц, шурупов, крупных семян, и т.д. 5

Слайд 15

Большинство народов считаютДЕСЯТКАМИ.

Счет ДЕСЯТКАМИ 10 ДЕСЯТКОВ – это одна СОТНЯ 10 ЕДИНИЦ – это один ДЕСЯТОК Счет десятками возник 3 – 2,5 тысячи лет до нашей эры в Древнем Египте. Египетский бог Тот – бог мудрости,счета и письма 10

Слайд 16

В сказке П.П. Ершова «Конек-Гобунок» при покупке златогривых коней Иван считает «пятками», а более образованный царь – десятками:

“Ну, я пару покупаю! Продаешь ты?”-”Нет, меняю”. “Что в промен берешь добра?”- “Два-пять шапок серебра!” “То есть это будет десять” Царь тотчас велел отвесить.

Слайд 17

С ч е т « с о р о к á м и »

Счет «сорокáми» был распространен в Древней Руси. Название числа сорок появилось 800 лет назад. Слово «сорок» произошло от названия «сорóчка». В те времена звероловы подсчитывали шкурки зверьков мешками («сорóчками») . В каждом мешке хранилось по 40 беличьих шкурок или по 40 собольих хвостов, шедших в XVI веке на пошив одной боярской шубы, которую тоже именовали «сорóчкой». Боярская шуба - ”сорóчка” Меховые деньги

Слайд 18

Как считали сороками

Насчитав на правой руке 8 единиц, счетчик загибал палец левой руки. Операция счета заканчивалась, когда оказывались загнутыми все 5 пальцев левой руки. Пять восьмерок, или 40, составляли счетную группу – сорочόк. Это вычисление происходит от счета по суставам пальцев. Сибирские звероловы до начала ХХ века считали большим пальцем по двум суставам остальных четырех пальцев правой руки. Звероловы Древней Руси

Слайд 19

Число 40 долго служило названием очень большого числа. Неслучайно в русском языке слово “сороконожка” всегда имело смысл “многоножки”. Московские церкви считались также “сороками”. Еще в XVII веке говорили, что в Москве “сорок сороков церквей”, хотя на самом деле их было всего около ста. О том, что число 40 на Руси когда-то играло особую роль при пальцевом счете, говорят и некоторые связанные с ним поверья. Так, сорок первый медведь считался роковым для русского охотника.

Слайд 20

Счет ДЮЖИНАМИ по суставам пальцев …Когда же ты снова пришлешь к нашему ужину ДЮЖИНУ новых и сладких калош! Счет ДЮЖИНАМИ основан на подсчете числа фаланг на руке “счетовода” и похож на счет сорокáми. Сосчитав 12 фаланг на левой руке, “счетовод” загибал на правой руке один палец. Когда все пальцы правой руки оказывались сжатыми в кулак, счет завершался Получалось 12 пятерок, то есть 60. Кулак означал пятерку дюжин, то есть “шестьдесят”. 12

Слайд 21

Следы счета дюжинами и счета по шестьдесят в наши дни 6 и 12 персон в году 12 месяцев 360 градусов (60х6) 12 часов и 60 минут гарнитур 12 предметов

Слайд 22

Примеры умножения на пальцах

Метод простой. Допустим, нам нужно умножить 7 на 9. Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева). Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения. С П О С О Б 1Таблица умножения на 9 7 х 9 = 63 7

Слайд 23

С П О С О Б 2Умножение чисел от 6 до 10 Пусть нам нужно умножить 6 на 7. Руки сожмем в кулаки. На одной руке разогнем столько пальцев, насколько 6 больше 5, т.е. на 1 палец, а на другой столько, насколько 7 больше 5, т.е. на 2. Количество разогнутых пальцев покажет число десятков произведения. Один палец на одной руке, да два пальца на другой составят десятки, получаем три десятка. Перемножим загнутые пальцы правой руки с загнутыми пальцами левой руки. На одной четыре, а на другой три. Их произведение равно 3х4=12. Теперь сложим результаты двух действий: 30+12=42 Это старинный способ пальцевого счета. Так умножали еще древние римляне. (1 + 2) х 10 = 30 4 х 3 = 12 30 + 12 = 42 6 х 7 = 42

Слайд 24

С П О С О Б 3Умножение двузначных чисел на 9 37 х 9 = 333 3 х 100 + 3 х 10 + 3 х 1 = 333 Расположим руки как в способе 1. Отсчитаем число ДЕСЯТКОВ (3) нашего двузначного множителя от большого пальца левой руки. Раздвинем пальцы так, чтобы палец “десятков” и следующий за ним образовали “V” (“галочку”). Палец, соответствующий ЕДИНИЦАМ множителя (7), загнём, как и в способе I (начиная считать от большого пальца слева). Количество пальцев от большого пальца левой руки до «галочки» равно количеству сотен в произведении; Количество пальцев от «галочки» до загнутого пальца равно количеству десятков в произведении; Количество пальцев от загнутого пальца до большого пальца правой руки равно количеству единиц в произведении. Загнутый палец в подсчётах не участвует. Перед нами три группы пальцев: сотни, десятки и единицы произведения.

Слайд 28

До новых встреч!

Посмотреть все слайды

Управление образования администрации округа Муром

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №16»

Реферат

Пальцевый счет и другие приемы умножения

Выполнил ученик 8 класса

Красовитов Кирилл

Руководитель Кузина Г.Е.

2009

Введение3

1. Из истории пальцевого счета4

2. Приемы пальцевого счета6

3.Другие приемы умножения10

4. Современные приемы быстрого счета13

Заключение14

Список литературы15

Введение

Выбирая тему для реферата, я сразу остановился на пальцевом счете, потому что до этого не представлял, что это такое (вернее думал, что это то же самое, что и счет на палочках). Поскольку сейчас, с введением ЕГЭ, умение вычислять без калькулятора становится очень актуальным, нелишним будет подробнее ознакомитьсяс пальцевым счетом и другими приемами умножения.

Цель моей работы: выявить суть, а также преимущества и недостатки

пальцевого и других приемов счета; попытаться

обосновать их с помощью законов математики.

Задачи : - ознакомиться с историей вопроса,

Освоить приемы пальцевого счета и другие приемы умножения,

Сравнить их между собой и с современнымивычислительными

приемами.

Прежде всего я ознакомился с известными фактами из жизниЛ.Ф. Магницкого и с содержанием его «Арифметики» и убедился, что интересующий меня вопрос там представлен довольно скупо. Дополнительную информацию я получил из различных книг по истории математики.

Всю работу я разделил на четыре части, в которых осветил историю пальцевого счета, его суть у разных народов, рассмотрел некоторые приемы умножения, отличные от современного, а также привел приемы быстрого счета, которые я использую при изучении математики и в практической жизни.

1. Из истории пальцевого счета

Перед людьми, освоившими натуральный ряд чисел до некоторой достаточно далекой границы, встала необходимость создания удобных способов называния и записи чисел. Нужно было решить задачу создания устной и письменной нумерации. В разные эпохи отдельными народами эта задача решалась различно.

При значительном объеме числового множества нельзя было ограничится примитивным способом, дающем каждому числу свое особое название. Человеческая память ограниченна. Безнадежно было бы счисление, которое каждому числу присваивало бы особое название. Но люди вскоре догадались, что считать надо группами, называя группы теми же именами числительными, что и единицы, но с добавлением названий групп.

Большинство народов употребляло и употребляет десятичные группы счета или десятичную систему счисления. Для составления названий чисел по этой системе нужно иметь десять слов для названий первых десяти чисел и затем названия для новых счетных групп – сто, тысяча и т.д.

Единственной причиной, заставившей большинство народов избрать десятичную систему, является наличие у человека на руках десяти пальцев, которые служили удобнейшей вещественной основой счета. Десять пальцев – это то стандартное множество, с которым сравнивал первобытный человек всякое другое множество до тех пор, пока у него не образовалось в сознании новое стандартное множество, в виде ряда натуральных чисел. Историческую роль пальцев при образовании числовых понятий мы вспоминаем, когда советуем кому-то считать на пальцах. Об этом напоминают и языковые факты – названия числительных у разных народов: часто число 5 называют «рукой», 10 – «две руки», 20 – «весь человек», то есть две руки и две ноги.

В «Арифметике» Магницкого числа 1,2,3.4,5,6,7,8,9 называются «перстами», 0 – «низачто», полные десятки – «составами», числа, состоящие из десятков и единиц,– «сочинениями». Эти названия являются аналогами таких же названий в европейских языках. Существование у ряда народов двадцатеричной системы счисления (у майя в Центральной Америке, у басков, у кельтских народов в прежние времена) имеет, по-видимому, ту же основу – пальцевой счет.

Пальцевой счет – обозначение чисел при помощи пальцев – обладал не только большой наглядностью, но и был вызван практической потребностью. Он был необходим в торговых местах,где сталкивались представители разных народов, не имеющих общего языка. Практическая необходимость выработала общий пальцевый счет, понятный без слов, и этому счету обучали детей в школе. Римский писатель Цицерон (1 в. до н.э.) в одной из своих речей клеймит низкий уровень преподавания в римской школе, где таблица умножения заучивается только до 5, а дальнейшая ее часть восполняется счетом на пальцах.

Итак, счет по пальцам широко применялся в старину. Пальцы и их суставы, а также загибания и разгибания пальцев, складывание и вытягивание рук давали возможность людям не только считать до десятков и сотен тысяч, но и производить некоторые арифметические действия.

2. Приемы пальцевого счета

Мне удалось найти несколько приемов пальцевого умножения, применяемого разными народами.

1. Вот, например, как умножали древние римлянена пальцах числа, содержащиеся между 5 и 10:

для перемножения чисел а и в , каждое из которых больше 5 и меньше 10, нужно вытянуть на одной и другой руке столько пальцев, на сколько данные числа каждое в отдельности превышают 5; сумма чисел вытянутых пальцев дает десятки произведения; к ним надо прибавить произведение чисел, соответствующих остающимся загнутым пальцам, каждое из которых меньше 5 (до 5 таблицу умножения заучивали). Обоснованием этого приема служит тождество:

10 ((а -5)+(в -5))+(10-а)(10-в)=ав

Пример : найти произведение 7*8.

1.На одной руке вытягиваем 2 пальца, на другой 3 пальца. Сумма 2+3=5 – число десятков.

2.На одной руке загнуты 3 пальца, на другой – 2 пальца; 2*3=6- единицы.

5 десятков и 6 единиц – 56, то есть 7*8=56.

2 . В русской рукописи есть заметка о том, как поступать, когда «прежписанные изустные слова из памяти выдут, а умноженное число доведется вскоре ведати». Для этого рекомендовалось следующее:

Найти арифметические дополнения сомножителей до 10 и перемножить их – получим единицы. Десятки получаем вычитанием одного дополнения из другого числа. Обоснованием является тождество

10(в -(10-а ))+(10-а )(10-в )=ав или10(а -(10-в ))+(10-а )(10-в )=ав

Пример : найти произведение6*7.

1. Берем арифметические дополнения 4 и3 и перемножаем, получаем 12 – единицы.

2. Десятки получаем вычитанием одного дополнения из другого числа (6-3 или7-4),то есть3.

Получаем 30+12=42, то есть 6*7=42.

Л.Ф.Магницкий усовершенствовал этот способ, применив его к пальцам. К своей таблице умножения он дает интересное дополнение. Он приводит «ин способ, к утверждению таблицы, по перстом ручным сице»,и описывает его так:

«Аще хочешь ведать, сколько будет 7*7, то

1. причти к перстам левой руки от правой 2, и станет 7;

2. также и к перстам правой руки от левой, чтобы стало 7;

3. сложи причтенные персты обеих рук, будет 40;

4. остальные же с обеих рук (3 и 3) умножи между собой и будет 9;

5. приложи 40 и 9, будет 49.

По этому правилу : 8*9=(3+4)10+2*1=72,

8*6=(3+1)10+2*4=48

Эти два приемы пальцевого счета схожи друг с другом и применяются вместо таблицы умножения. Я думаю, что они интересны сами по себе, но реально удобнее все-таки знать наизусть таблицу умножения

3. До сих пор хорошо известен пальцевый прием таблицы умножения на 9 (его описывает в своей книге «Математическая смекалка» Б.А.Кордемский):

Положите ладони обеих рук на стол. Каждый палец слева направо будет означать соответствующее порядковое число: первый слева – 1, второй -2 и т. д. пусть требуется умножить число первого десятка на 9. Дляэтого стоит только, не сдвигая рук со стола, приподнять вверх тот палец, который означает множимое. Тогда число остальных пальцев, лежащих слева от поднятого пальца, будет числом десятков произведения, а число пальцев справа – числом единиц.

Я думаю, этот прием и сейчас может помочь малышам, которые только осваивают таблицу умножения

4 . Пальцевый счет был широко распространен в практической жизни и в средние века. Ирландский ученый монах Беда Достопочтенный (673-735), написавший книгу «О счете времени», посвятил целую главу счету на пальцах.

Вот как производилось, например, умножение двузначных чисел второго десятка: найти произведение 13*14:

1. Известно 10*10=100.

2. загибают на одной руке 3. а на другой 4 пальца,

3. 3+4=7, это- десятки, то есть 7*10=70,

4. 3*4=12, это единицы.

Итак:

5. 13*14=10*10+7*10+3*4=182.

Я объяснил этот прием правилом перемножения многочленов:

(10+а)(10+в)=10*10+(а+в)10+ав

Мне кажется, запоминание самого приема требует больше усилий, чем наше умножение «столбиком», хотя при достаточном опыте его можно использовать при устном счете.

Пальцевый счет, который постепенно исчезал после полного утверждения десятичной позиционной системы счисления, сохранился в Европе до XVIII века.

3. Другие приемы умножения

Кроме пальцевого счета существуют и другие приемы сокращенных и облегченных вычислений. Приемы, рекомендованные в европейских школах, выработались в Индии.

1 . В одной старинной русской рукописи описывается интересный прием «умножения крестиком», применявшийся в древней Индии под названием «молниеносного».

Пусть требуется, например, умножить 48 на 27.

1. Пишем48

х

27

2. Говорим:7х8=56

3. Пишем:6, в уме 548

х

27

6

4. Говорим:7х4=28;28+5=33;

33 в уме, 2х8=16,

16+33=49;

5. Пишем 9, в уме 4;48

х

27

9 6

6. Говорим:2х4=8;8+4=12;

7. Пишем: 12 получаем произведение 1296;48

х

27

1296

Мне этот прием совсем не показался молниеносным, сложно запомнить, что держим в уме и с чем складываем. Я считаю более простым умножение столбиком, как обычно мы делаем.

2. Умножение у древних египтян сводилось к последовательному удваиванию и сложению.

Пример . Найти произведение 15х13.

Составляем два столбца, во главе первого стоит 1, а второго - множимое 15. Этичисла последовательно удваиваются до тех пор, пока, складывая некоторые числа левого столбца, становится возможным получить множитель 13. числа правого столбца, которые надо сложить, чтобы получить искомое произведение, соответствуют отмеченным числам левого столбца.

/11515х13=(1+4+8)х15=15+60+120=195

230

/460

/8120

Пример .18х15

11518х15=240

/230

8120

/16240

3 . К староегипетскому близок так называемый «русский способ умножения», применявшийся крестьянами в дореволюционной России. Он основан на последовательной замене произведения двух сомножителей, при которой один из них повторно удваивается, а другой раздваивается до единицы.

Пример 1. Найти произведение 27х16.

2716

1084

2162

4321Итак,27х16 = 54х8 = 108х4 = 216х2 = 432х 1 = 432

Пример 2. Найти произведение 46х28.

В этом случае при раздвоении сомножителя 28 получается остаток. Его пишем в скобках в соответствующих местах.

4628Для получения произведения следует добавить числу

9214первого столбца те числа этого же столбца, которые