Разделы сайта
Выбор редакции:
- Вертикальный конгломерат
- Фотограф Всеволод Тарасевич: сумасшедшая жизнь от «Формирования интеллекта» и до «Края земли
- Требуется продавец-консультант?
- «Полная неожиданность»: в России рухнули продажи электроники
- На слонимщине перерисовали соломенные фигуры, так как они уж очень напоминали известных людей беларуси
- Трудовая мотивация и удовлетворенность трудом Похожие работы на - Профессиональное удовлетворение работой разными поколениями сотрудн
- Как получить грант на начало бизнеса, руководство от первого лица
- Разделение рабочего времени на части
- Презентация на английском языке И
- Как формировать профили должностей для поиска ценных сотрудников?
Реклама
Смо с отказами и частичной взаимопомощью. Классификация систем массового обслуживания |
Постановка задачи. На вход n -канальной СМО поступает простейший поток заявок с плотностью λ. Плотность простейшего потока обслуживания каждого канала равна μ. Если поступившая на обслуживание заявка застает все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одновременно l каналами (l < n ). При этом поток обслуживаний одной заявки будет иметь интенсивность l . Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе одну заявку, то при n ≥ 2l вновь прибывшая заявка будет принята к обслуживанию и будет обслуживаться одновременно l каналами. Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе i заявок (i = 0,1, ...), при этом (i + 1)l ≤ n , то поступившая заявка будет обслуживаться l каналами с общей производительностью l . Если вновь поступившая заявка застает в системе j заявок и при этом выполняются совместно два неравенства: (j + 1)l > n и j < n , то заявка будет принята на обслуживание. В этом случае часть заявок может обслуживаться l каналами, другая часть меньшим, чем l , числом каналов, но в обслуживании будут заняты все n каналов, которые распределены между заявками произвольным образом. Если вновь поступившая заявка застанет в системе n заявок, то она получает отказ и не будут обслуживаться. Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки «терпеливые»). Граф состояний такой системы показан на рис. 3.8. Рис. 3.8. Граф состояний СМО с отказами и частичной взаимопомощью между каналами Заметим, что граф состояний системы до состояния x h с точностью до обозначений параметров потоков совпадает с графом состояний классической системы массового обслуживания с отказами, изображенным на рис. 3.6. Следовательно, (i = 0, 1, ..., h ). Граф состояний системы, начиная от состояния x h и кончая состоянием x n , совпадает с точностью до обозначений с графом состояний СМО с полной взаимопомощью, изображенным на рис. 3.7. Таким образом, . Введем обозначения λ / l μ = ρ l ; λ / n μ = χ, тогда С учетом нормированного условия получаем Для сокращения дальнейшей записи введем обозначениеНайдем характеристики системы. Вероятность обслуживания заявкиСреднее число заявок, находящихся в системе, Среднее число занятых каналов . Вероятность того, что отдельный канал будет занят . Вероятность занятости всех каналов системы 3.4.4. Системы массового обслуживания с отказами и неоднородными потокамиПостановка задачи. На вход n -канальной СМО поступает неоднородный простейший поток с суммарной интенсивностью λ Σ , причем λ Σ = , где λ i – интенсивность заявок в i -м источнике. Так как поток заявок рассматривается как суперпозиция требований от различных источников, то объединенный поток с достаточной для практики точностью можно считать пуассоновским для N = 5...20 и λ i ≈ λ i +1 (i 1,N ). Интенсивность обслуживания одного прибора распределена по экспоненциальному закону и равна μ = 1/t . Обслуживающие приборы для обслуживания заявки соединяются последовательно, что равносильно увеличению времени обслуживания во столько раз, сколько приборов объединяется для обслуживания: t обс = kt , μ обс = 1 / kt = μ/k , где t обс – время обслуживания заявки; k – число обслуживающих приборов; μ обс – интенсивность обслуживания заявки. В рамках принятых в главе 2 допущений состояние СМО представим в виде вектора , гдеk m – число заявок в системе, каждая из которых обслуживается m приборами; L = q max – q min +1 – число входных потоков. Тогда количество занятых и свободных приборов (n зан (),n св ()) в состоянииопределяется следующим образом: Из состояния система может перейти в любое другое состояние. Так как в системе действуетL входных потоков, то из каждого состояния потенциально возможно L прямых переходов. Однако из-за ограниченности ресурсов системы не все эти переходы осуществимы. Пусть СМО находится в состоянии и приходит заявка, требующаяm приборов. Если m ≤ n св (), то заявка принимается на обслуживание и система переходит в состояниес интенсивностью λ m . Если же заявка требует приборов больше, чем имеется свободных, то она получит отказ в обслуживании, а СМО останется в состоянии . Если в состояниинаходятся заявки, требующиеm приборов, то каждая из них обслуживается с интенсивностью m , а общая интенсивность обслуживания таких заявок (μ m ) определяется как μ m = k m μ / m . При завершении обслуживания одной из заявок система перейдет в состояние, в котором соответствующая координата имеет значение, на единицу меньшее, чем в состоянии ,=, т.е. произойдет обратный переход. На рис. 3.9 представлен пример векторной модели СМО дляn = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P (m ) = 1/3, λ Σ = λ, интенсивность обслуживания прибора – μ. Рис. 3.9. Пример графа векторной модели СМО с отказами в обслуживании Итак,
каждое состояниехарактеризуется числом обслуживаемых
заявок определенного типа. Например, в
состоянии По графу состояний с нанесенными интенсивностями переходов составляется система линейных алгебраических уравнений. Из решения этих уравнений находятся вероятности Р (), по которым определяется характеристика СМО. Рассмотрим нахождение Р отк (вероятность отказа в обслуживании). , где S – число состояний графа векторной модели СМО; Р () – вероятность нахождения системы в состоянии. Число состояний согласно определяется следующим образом: , (3.22) ; Определим число состояний векторной модели СМО по (3.22) для примера, представленного на рис. 3.9. . Следовательно, S = 1 + 5 + 1 = 7. Для реализации реальных требований к обслуживающим приборам необходимо достаточно большое число n (40, ..., 50), а запросы на число обслуживающих приборов заявки на практике лежат в пределах 8–16. При таком соотношении приборов и запросов предложенный путь нахождения вероятностей становится чрезвычайно громоздким, т.к. векторная модель СМО имеет большое число состояний S (50) = 1790, S (60) = 4676, S (70) = = 11075, а размер матрицы коэффициентов системы алгебраических уравнений пропорционален квадрату S , что требует большого объема памяти ЭВМ и значительных затрат машинного времени. Стремление снизить объем вычислений стимулировало поиск рекуррентных возможностей расчета Р () на основе мультипликативных форм представления вероятностей состояний. В работе представлен подход к расчетуР (): (3.23) Использование предложенного в работе критерия эквивалентности глобального и детального балансов цепей Маркова позволяет снижать размерность задачи и выполнять вычисления на ЭВМ средней мощности, используя рекуррентность вычислений. Кроме того, имеется возможность: – произвести расчет для любых значений n ; – ускорить расчет и снизить затраты машинного времени. Аналогичным образом могут быть определены и другие характеристики системы. Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания (всего каналов n), в которую поступают заявки с интенсивностью λ и обслуживаются с интенсивностью μ. Заявка, прибывшая в систему, обслуживается, если хотя бы один канал свободен. Если все каналы заняты, то очередная заявка, поступившая в систему, получает отказ и покидает СМО. Пронумеруем состояния системы по числу занятых каналов:
Рис. 7.24
Процесс обслуживания является процессом гибели и размножения. Уравнения Колмогорова для этого частного случая будут иметь следующий вид: (7.25)
(7.26)
С учетом сделанных обозначений система уравнений (7.26) примет следующий вид: (7.27)
.
Q
= 1 – Р
отк,
A=λ·Q=λ·(1-P отк)
,
Информатика, кибернетика и программирование На систему обслуживания имеющую n каналов обслуживания поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом. После окончания обслуживания все каналы освобождаются. Поведение такой системы массового обслуживания можно описать Марковским случайным процессом t представляющим собой число заявок находящихся в системе. 2. СМО с отказами и полной взаимопомощью для массовых потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения. Постановка задачи. На систему обслуживания, имеющую n каналов обслуживания, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом - µ. Заявка обслуживается всеми каналами одновременно. После окончания обслуживания все каналы освобождаются. Если вновь прибывшая заявка застает заявку, она тоже принимается к обслуживанию. Часть каналов продолжают обслуживать первую заявку, а остальные - новую. Если в системе уже обслуживается n заявок, то вновь прибывшая заявка получает отказ. Поведение такой системы массового обслуживания можно описать Марковским случайным процессом ξ(t), представляющим собой число заявок, находящихся в системе. Возможные состояния этого процесса E = (0, 1, . . . , n). Найдем характеристики рассматриваемой СМО в стационарном режиме. Граф, соответствующий рассматриваемому процессу, представлен на рисунке 1. Рис. 1. СМО с отказами и полной взаимопомощью для пуассоновских потоков Составим систему алгебраических уравнений: Решение данной системы имеет вид: Здесь χ =λ/nµ - среднее число заявок, поступающих в систему за среднее время обслуживания одной заявки всеми каналами. Характеристики многоканальной системы массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью между каналами. 1. Вероятность отказа в обслуживании (вероятность того, что все каналы заняты): 2. Вероятность обслуживания заявки (относительная пропускная способность системы):
Система уравнений СМО с отказами для случайного числа обслуживающих потоков векторная модель для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений. СМО представим в виде вектора , где k m – число заявок в системе, каждая из которых обслуживается m приборами; L = q max – q min +1 – число входных потоков. Если заявка принимается на обслуживание и система переходит в состояние с интенсивностью λ m . При завершении обслуживания одной из заявок система перейдет в состояние, в котором соответствующая координата имеет значение, на единицу меньшее, чем в состоянии , = , т.е. произойдет обратный переход. Пример векторной модели СМО для n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P (m ) = 1/3, λ Σ = λ, интенсивность обслуживания прибора – μ. По графу состояний с нанесенными интенсивностями переходов составляется система линейных алгебраических уравнений. Из решения этих уравнений находятся вероятности Р (), по которым определяется характеристики СМО. СМО с бесконечной очередью для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения. Граф системы Система уравненийГде n – число каналов обслуживания, l – число взаимопомогающих каналов СМО с бесконечной очередью и частичной взаимопомощью для произвольных потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения. Граф системы Система уравнений –λ Р 0 + n μР 1 =0, .……………… –(λ + n μ)Р k + λР k –1 + n μР k +1 =0 (k = 1,2, ... , n –1), …………….... -(λ+ n μ)P n + λР n –1 + n μ Р n+1 =0, ………………. -(λ+ n μ)P n+j + λР n+j –1 + n μ Р n+j+1 =0, j=(1,2,….,∞) СМО с бесконечной очередью и полной взаимопомощью для произвольных потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения. Граф системы |
|
Система уравнений
СМО с конечной очередью для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.
Граф системы
Система уравнений
Расчетные соотношения.
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Фотограф Всеволод Тарасевич: сумасшедшая жизнь от «Формирования интеллекта» и до «Края земли
- Требуется продавец-консультант?
- «Полная неожиданность»: в России рухнули продажи электроники
- На слонимщине перерисовали соломенные фигуры, так как они уж очень напоминали известных людей беларуси
- Трудовая мотивация и удовлетворенность трудом Похожие работы на - Профессиональное удовлетворение работой разными поколениями сотрудн
- Как получить грант на начало бизнеса, руководство от первого лица
- Разделение рабочего времени на части
- Презентация на английском языке И
- Как формировать профили должностей для поиска ценных сотрудников?
- Рабочее время в нестандартных ситуациях По пятницу с 9 00