Разделы сайта
Выбор редакции:
- Вертикальный конгломерат
- Фотограф Всеволод Тарасевич: сумасшедшая жизнь от «Формирования интеллекта» и до «Края земли
- Требуется продавец-консультант?
- «Полная неожиданность»: в России рухнули продажи электроники
- На слонимщине перерисовали соломенные фигуры, так как они уж очень напоминали известных людей беларуси
- Трудовая мотивация и удовлетворенность трудом Похожие работы на - Профессиональное удовлетворение работой разными поколениями сотрудн
- Как получить грант на начало бизнеса, руководство от первого лица
- Разделение рабочего времени на части
- Презентация на английском языке И
- Как формировать профили должностей для поиска ценных сотрудников?
Реклама
Смо с отказами и частичной взаимопомощью. Классификация систем массового обслуживания |
Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания (всего каналов n), в которую поступают заявки с интенсивностью λ и обслуживаются с интенсивностью μ. Заявка, прибывшая в систему, обслуживается, если хотя бы один канал свободен. Если все каналы заняты, то очередная заявка, поступившая в систему, получает отказ и покидает СМО. Пронумеруем состояния системы по числу занятых каналов:
Рис. 7.24
Процесс обслуживания является процессом гибели и размножения. Уравнения Колмогорова для этого частного случая будут иметь следующий вид: (7.25)
(7.26)
С учетом сделанных обозначений система уравнений (7.26) примет следующий вид: (7.27)
.
Q
= 1 – Р
отк,
A=λ·Q=λ·(1-P отк)
,
Постановка задачи. На вход n -канальной СМО поступает простейший поток заявок с плотностью λ. Плотность простейшего потока обслуживания каждого канала равна μ. Если поступившая на обслуживание заявка застает все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одновременно l каналами (l < n ). При этом поток обслуживаний одной заявки будет иметь интенсивность l . Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе одну заявку, то при n ≥ 2l вновь прибывшая заявка будет принята к обслуживанию и будет обслуживаться одновременно l каналами. Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе i заявок (i = 0,1, ...), при этом (i + 1)l ≤ n , то поступившая заявка будет обслуживаться l каналами с общей производительностью l . Если вновь поступившая заявка застает в системе j заявок и при этом выполняются совместно два неравенства: (j + 1)l > n и j < n , то заявка будет принята на обслуживание. В этом случае часть заявок может обслуживаться l каналами, другая часть меньшим, чем l , числом каналов, но в обслуживании будут заняты все n каналов, которые распределены между заявками произвольным образом. Если вновь поступившая заявка застанет в системе n заявок, то она получает отказ и не будут обслуживаться. Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки «терпеливые»). Граф состояний такой системы показан на рис. 3.8. Рис. 3.8. Граф состояний СМО с отказами и частичной взаимопомощью между каналами Заметим, что граф состояний системы до состояния x h с точностью до обозначений параметров потоков совпадает с графом состояний классической системы массового обслуживания с отказами, изображенным на рис. 3.6. Следовательно, (i = 0, 1, ..., h ). Граф состояний системы, начиная от состояния x h и кончая состоянием x n , совпадает с точностью до обозначений с графом состояний СМО с полной взаимопомощью, изображенным на рис. 3.7. Таким образом, . Введем обозначения λ / l μ = ρ l ; λ / n μ = χ, тогда С учетом нормированного условия получаем Для сокращения дальнейшей записи введем обозначениеНайдем характеристики системы. Вероятность обслуживания заявкиСреднее число заявок, находящихся в системе, Среднее число занятых каналов . Вероятность того, что отдельный канал будет занят . Вероятность занятости всех каналов системы 3.4.4. Системы массового обслуживания с отказами и неоднородными потокамиПостановка задачи. На вход n -канальной СМО поступает неоднородный простейший поток с суммарной интенсивностью λ Σ , причем λ Σ = , где λ i – интенсивность заявок в i -м источнике. Так как поток заявок рассматривается как суперпозиция требований от различных источников, то объединенный поток с достаточной для практики точностью можно считать пуассоновским для N = 5...20 и λ i ≈ λ i +1 (i 1,N ). Интенсивность обслуживания одного прибора распределена по экспоненциальному закону и равна μ = 1/t . Обслуживающие приборы для обслуживания заявки соединяются последовательно, что равносильно увеличению времени обслуживания во столько раз, сколько приборов объединяется для обслуживания: t обс = kt , μ обс = 1 / kt = μ/k , где t обс – время обслуживания заявки; k – число обслуживающих приборов; μ обс – интенсивность обслуживания заявки. В рамках принятых в главе 2 допущений состояние СМО представим в виде вектора , гдеk m – число заявок в системе, каждая из которых обслуживается m приборами; L = q max – q min +1 – число входных потоков. Тогда количество занятых и свободных приборов (n зан (),n св ()) в состоянииопределяется следующим образом: Из состояния система может перейти в любое другое состояние. Так как в системе действуетL входных потоков, то из каждого состояния потенциально возможно L прямых переходов. Однако из-за ограниченности ресурсов системы не все эти переходы осуществимы. Пусть СМО находится в состоянии и приходит заявка, требующаяm приборов. Если m ≤ n св (), то заявка принимается на обслуживание и система переходит в состояниес интенсивностью λ m . Если же заявка требует приборов больше, чем имеется свободных, то она получит отказ в обслуживании, а СМО останется в состоянии . Если в состояниинаходятся заявки, требующиеm приборов, то каждая из них обслуживается с интенсивностью m , а общая интенсивность обслуживания таких заявок (μ m ) определяется как μ m = k m μ / m . При завершении обслуживания одной из заявок система перейдет в состояние, в котором соответствующая координата имеет значение, на единицу меньшее, чем в состоянии ,=, т.е. произойдет обратный переход. На рис. 3.9 представлен пример векторной модели СМО дляn = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P (m ) = 1/3, λ Σ = λ, интенсивность обслуживания прибора – μ. Рис. 3.9. Пример графа векторной модели СМО с отказами в обслуживании Итак,
каждое состояниехарактеризуется числом обслуживаемых
заявок определенного типа. Например, в
состоянии По графу состояний с нанесенными интенсивностями переходов составляется система линейных алгебраических уравнений. Из решения этих уравнений находятся вероятности Р (), по которым определяется характеристика СМО. Рассмотрим нахождение Р отк (вероятность отказа в обслуживании). , где S – число состояний графа векторной модели СМО; Р () – вероятность нахождения системы в состоянии. Число состояний согласно определяется следующим образом: , (3.22) ; Определим число состояний векторной модели СМО по (3.22) для примера, представленного на рис. 3.9. . Следовательно, S = 1 + 5 + 1 = 7. Для реализации реальных требований к обслуживающим приборам необходимо достаточно большое число n (40, ..., 50), а запросы на число обслуживающих приборов заявки на практике лежат в пределах 8–16. При таком соотношении приборов и запросов предложенный путь нахождения вероятностей становится чрезвычайно громоздким, т.к. векторная модель СМО имеет большое число состояний S (50) = 1790, S (60) = 4676, S (70) = = 11075, а размер матрицы коэффициентов системы алгебраических уравнений пропорционален квадрату S , что требует большого объема памяти ЭВМ и значительных затрат машинного времени. Стремление снизить объем вычислений стимулировало поиск рекуррентных возможностей расчета Р () на основе мультипликативных форм представления вероятностей состояний. В работе представлен подход к расчетуР (): (3.23) Использование предложенного в работе критерия эквивалентности глобального и детального балансов цепей Маркова позволяет снижать размерность задачи и выполнять вычисления на ЭВМ средней мощности, используя рекуррентность вычислений. Кроме того, имеется возможность: – произвести расчет для любых значений n ; – ускорить расчет и снизить затраты машинного времени. Аналогичным образом могут быть определены и другие характеристики системы.
Если обслуживание производится поэтапно некоторой последовательностью каналов, то такую СМО называют многофазной . В СМО со «взаимопомощью» между каналами одна и та же заявка может одновременно обслуживаться двумя и более каналами. Например, один и тот же вышедший из строя станок могут обслуживать два рабочих сразу. Такая «взаимопомощь» между каналами может иметь место как в открытых, так и в замкнутых СМО. В СМО с ошибками заявка, принятая к обслуживанию в системе, обслуживается не с полной вероятностью, а с некоторой вероятностью ; другими словами, могут иметь место ошибки в обслуживании, результатом которых является то, что некоторые заявки, пошедшие СМО и якобы «обслуженные», в действительности остаются не обслуженными из-за «брака» в работе СМО. Примерами таких систем могут быть: справочные бюро, иногда выдающие неправильные справки и указания; корректор, могущий пропустить ошибку или неверно ее исправить; телефонная станция, иногда соединяющая абонента не с тем номером; торгово-посреднические фирмы, не всегда качественно и в срок выполняющие свои обязательства, и т.д. Для анализа процесса, протекающего в СМО, существенно знать основные параметры системы : число каналов , интенсивность потока заявок , производительность каждого канала (среднее число заявок, обслуживаемое в единицу времени каналом), условия образования очереди, интенсивность ухода заявок из очереди или системы. Отношение называют коэффициентом загрузки системы . Часто рассматриваются только такие системы, в которых . Время обслуживания в СМО может быть как случайной, так и не случайной величиной. На практике это время чаще всего принимается распределенным по показательному закону , . Основные характеристики СМО сравнительно мало зависят от вида закона распределения времени обслуживания, а зависят главным образом от среднего значения . Поэтому часто пользуются допущением, что время обслуживания распределено по показательному закону. Допущения о пуассоновском характере потока заявок и показательном распределении времени обслуживания (которые мы будем предполагать впредь) ценны тем, что позволяют применить в теории массового обслуживания аппарат так называемых марковских случайных процессов. Эффективность систем обслуживания в зависимости от условий задач и целей исследования можно характеризовать большим числом разных количественных показателей. Наиболее часто применяются следующие показатели : 1. Вероятность того, что обслуживанием заняты каналов – . Частным случаем является – вероятность того, что все каналы свободны. 2. Вероятность отказа заявки в обслуживании . 3. Среднее число занятых каналов характеризует степень загрузки системы. 4. Среднее число каналов, свободных от обслуживания: 5. Коэффициент (вероятность) простоя каналов . 6. Коэффициент загрузки оборудования (вероятность занятости каналов) 7. Относительная пропускная способность – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой, т.е. отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок. 8. Абсолютная пропускная способность , т.е. число заявок (требований), которое может обслужить система за единицу времени: 9. Среднее время простоя канала Для систем с ожиданием используют дополнительно характеристики: 10. Среднее время ожидания требований в очереди . 11. Среднее время пребывания заявки в СМО . 12. Средняя длина очереди . 13. Среднее число заявок в сфере обслуживания (в СМО) 14. Вероятность того, что время пребывания заявки в очереди не продлится больше определенного времени. 15. Вероятность того, что число требований в очереди, ожидающих начала обслуживания, больше некоторого числа. Кроме перечисленных критериев при оценке эффективности систем могут быть использованы стоимостные показатели : – стоимость обслуживания каждого требования в системе; – стоимость потерь, связанных с ожиданием в единицу времени; – стоимость убытков, связанных с уходом требований из системы; – стоимость эксплуатации канала системы в единицу времени; – стоимость единицы простоя канала. При выборе оптимальных параметров системы по экономическим показателям можно использовать следующую функцию стоимости потерь : а) для систем с неограниченным ожиданием Где – интервал времени; б) для систем с отказами ; в) для смешанных систем . Варианты, в которых предусматривается строительство (ввод) новых элементов системы (например, каналов обслуживания), обычно сравниваются по приведенным затратам . Приведенные затраты по каждому варианту есть сумма текущих затрат (себестоимости) и капитальных вложений, приведенных к одинаковой размерности в соответствии с нормативом эффективности, например: (приведенные затраты за год); (приведенные затраты за срок окупаемости), где – текущие затраты (себестоимость) по каждому варианту, р.; – отраслевой нормативный коэффициент экономической эффективности капитальных вложений (обычно = 0,15 - 0,25); – капитальные вложения по каждому варианту, р.; – нормативный срок окупаемости капитальных вложений, лет. Выражение есть сумма текущих и капитальных затрат за определенный период. Их называют приведенными , так как они относятся к фиксированному отрезку времени (в данном случае к нормативному сроку окупаемости). Показатели и могут применяться как в виде суммы капитальных вложений и себестоимости готовой продукции, так и в виде удельных капитальных вложений на единицу продукции и себестоимости единицы продукции. Для описания случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями , часто пользуются вероятностями состояний , где – вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии . Очевидно, что . Если процесс, протекаемый в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, является марковским , то для вероятностей состояний можно составить систему линейных дифференциальных уравнений Колмогорова. Eсли имеется размеченный граф состояний (рис.4.3) (здесь над каждой стрелкой, ведущей из состояния в состояние, проставлена интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния в состояние по данной стрелке), то систему дифференциальных уравнений для вероятностей можно сразу написать, пользуясь следующим простым правилом . В левой части каждого уравнения стоит производная , а в правой части – столько членов, сколько стрелок связано непосредственно с данным состоянием; если стрелка ведет в Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, стационарны , общее число состояний конечно и состояний без выхода нет, то предельный режим существует и характеризуется предельными вероятностями . Система уравнений СМО с отказами для случайного числа обслуживающих потоков векторная модель для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений. СМО представим в виде вектора , где k m – число заявок в системе, каждая из которых обслуживается m приборами; L = q max – q min +1 – число входных потоков. Если заявка принимается на обслуживание и система переходит в состояние с интенсивностью λ m . При завершении обслуживания одной из заявок система перейдет в состояние, в котором соответствующая координата имеет значение, на единицу меньшее, чем в состоянии , = , т.е. произойдет обратный переход. Пример векторной модели СМО для n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P (m ) = 1/3, λ Σ = λ, интенсивность обслуживания прибора – μ. По графу состояний с нанесенными интенсивностями переходов составляется система линейных алгебраических уравнений. Из решения этих уравнений находятся вероятности Р (), по которым определяется характеристики СМО. СМО с бесконечной очередью для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения. Граф системы Система уравненийГде n – число каналов обслуживания, l – число взаимопомогающих каналов СМО с бесконечной очередью и частичной взаимопомощью для произвольных потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения. Граф системы Система уравнений –λ Р 0 + n μР 1 =0, .……………… –(λ + n μ)Р k + λР k –1 + n μР k +1 =0 (k = 1,2, ... , n –1), …………….... -(λ+ n μ)P n + λР n –1 + n μ Р n+1 =0, ………………. -(λ+ n μ)P n+j + λР n+j –1 + n μ Р n+j+1 =0, j=(1,2,….,∞) СМО с бесконечной очередью и полной взаимопомощью для произвольных потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения. Граф системы |
|
Система уравнений
СМО с конечной очередью для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.
Граф системы
Система уравнений
Расчетные соотношения:
,
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Фотограф Всеволод Тарасевич: сумасшедшая жизнь от «Формирования интеллекта» и до «Края земли
- Требуется продавец-консультант?
- «Полная неожиданность»: в России рухнули продажи электроники
- На слонимщине перерисовали соломенные фигуры, так как они уж очень напоминали известных людей беларуси
- Трудовая мотивация и удовлетворенность трудом Похожие работы на - Профессиональное удовлетворение работой разными поколениями сотрудн
- Как получить грант на начало бизнеса, руководство от первого лица
- Разделение рабочего времени на части
- Презентация на английском языке И
- Как формировать профили должностей для поиска ценных сотрудников?
- Рабочее время в нестандартных ситуациях По пятницу с 9 00